Propagation d'une rumeur

L'objectif de cette activité est d'étudier la façon dont une rumeur, potentiellement une fausse information, se propage.

Partie A : un modèle de propagation d'une rumeur

Considérons un lycée de \(1~000\) élèves, les téléphones portables sont interdits.
Un jour, à 8 h 00, un élève arrive au lycée avec une drôle d'idée en tête : pendant le premier cours, il dit à deux de ses camarades que le bac blanc prévu le lendemain est annulé.
Chacun de ces deux camarades nouvellement informés veut relayer l'information.
Dans un premier temps, on suppose que chaque élève informé propage l'information à deux autres élèves non informés au bout d'une heure. Les cours se terminent à 17 h 00.

1. Combien de nouveaux informés y aura-t-il dans le lycée à 9 h 00 ? Et à 10 h 00 ?
2. Combien d'élèves seront au courant, en tout, à 9 h 00 ? Et à 10 h 00 ?
3. Compléter le tableur suivant.
    a. Quelle formule entrée en B3 et étirée jusqu'à B11 permet de calculer le nombre de nouveaux informés à chaque heure ?
    b. Quelle formule entrée en C3 et étirée jusqu'à C11 permet de calculer le nombre total d'informés à chaque heure ?

4. Tous les élèves du lycée seront-ils au courant de cette fausse information avant la fin des cours à 17 h 00 ?
5. Expliquer pourquoi ce modèle repose sur l'utilisation d'une suite géométrique \((v_n)\) définie pour \(n\) entier naturel. En donner le premier terme, la raison, le terme général et la somme des \(10\) premiers termes.
6. Ce modèle étant très rudimentaire, en réaliser une critique. Mettre en évidence, en particulier, les hypothèses peu réalistes et envisager des modifications du modèle.

Partie B : une première amélioration du modèle

Dans cette partie seront étudiées deux améliorations du modèle.
Dans le modèle précédent, on supposait que la rumeur se propageait à chaque heure, comme si les personnes se passaient le message à des moments précis et espacés.
Mais, en réalité, la rumeur peut circuler en continu tout au long de la journée, sans attendre une heure pile. Pour modéliser cela plus précisément, on ne va plus utiliser une suite (qui ne donne une valeur qu’à des instants entiers), mais une fonction définie pour tout nombre réel positif \(t\), qui représente le temps écoulé en heures depuis 8 h 00 : le nombre d'heures \(t\) peut ne pas être entier.
Soit \(f\) la fonction définie pour tout nombre réel \(t\) positif par \(f(t)=2^t\).
1. Expliquer pourquoi cette fonction permet de modéliser la situation.
2. Calculer \(f(2{,}5)\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice en expliquant le choix d'arrondi à effectuer.
3. Que permet de faire la fonction \(f\) de plus que la suite géométrique utilisée dans la partie A ?
4. Combien de nouveaux informés y aura-t-il à 12 h 15 ? Et à 15 h 45 ?

En langage mathématique, on dit qu'en utilisant une fonction au lieu d'une suite pour simuler une évolution, on effectue un passage du discret au continu.
5. Interpréter cette expression dans le cadre de l'exercice.

Partie C : prise en compte de différents paramètres

De manière générale, une fonction \(f\) est dite exponentielle lorsqu'il existe un réel \(a\) strictement positif tel que, pour tout nombre réel \(x\), \(f(x)=a^x\).

1. Combien vaut \(a\) dans la modélisation de la propagation de la rumeur, effectuée dans la partie B ?
2. Quelle serait l'expression de la fonction exponentielle qui modélise la propagation de la rumeur dans le cas où chaque élève informe \(3\) nouveaux élèves ? Et s'il en informe \(4\) ?

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre l'allure des courbes représentative des fonctions exponentielles modélisant la propagation de la rumeur à \(2\) ; \(3\) ou \(4\) nouveaux élèves par chaque élève informé.
3. En cochant les cases prévues à cet effet, observer les allures des courbes représentatives, puis répondre aux questions suivantes.
    a. Donner par lecture graphique le signe et les variations des fonctions exponentielles représentées.
    b. Identifier la fonction exponentielle qui permet d'informer l'ensemble du lycée le plus rapidement. Est-ce étonnant ?

La case   Autre modèle » permet de modifier les paramètres de l'expression de la fonction exponentielle à utiliser pour modéliser la propagation de la rumeur.
4. Modifier la valeur du paramètre \(a\) et du paramètre \(n\), qui représentent le nombre d'élèves informés au début de la matinée. Commenter l'effet du changement de ces paramètres sur l'allure de la courbe, ainsi que sur la vitesse de propagation de la rumeur dans le lycée.
5. Quel semble être le comportement de la fonction exponentielle pour des valeurs de \(a\) de plus en plus grandes ? Expliquer pourquoi ce comportement n'est pas cohérent avec la situation.

On dit alors que le modèle de croissance exponentielle est adapté au début de la propagation de la rumeur, mais qu'il est moins pertinent sur des temps longs.
6. Proposer l'allure d'une courbe qui pourrait modéliser la propagation de la rumeur dans le lycée entre 8 h 00 et 17 h 00.